Το ταξί του Ραμανούτζαν (Ramanujan)

του Μάνθου

Τον Ιανουάριο του 1913, ο Άγγλος μαθηματικός G.H. Hardy (1877-1947), τότε λέκτορας στο Trinity College του Cambridge, έλαβε ένα γράμμα από την Ινδία. Μέσα στον φάκελο βρήκε κακογραμμένα χειρόγραφα με θεωρήματα. Κάποια από αυτά δεν τα είχε ξαναδεί· κάποια άλλα ήταν γνωστά, αλλά διατυπωμένα ως πρωτότυπα. Αποδείξεις πουθενά. Η συνοδευτική επιστολή, την οποία υπόγραφε κάποιος Srinivasa Ramanujan, ζητούσε –σε φρικτά αγγλικά– τη γνώμη του γι’ αυτές τις «μαθηματικές ανακαλύψεις». Ως ήδη αναγνωρισμένος μαθηματικός σε διεθνές επίπεδο, ο Hardy λάμβανε συχνά τέτοιες επιστολές, οπότε δεν έδωσε ιδιαίτερη σημασία. Ίσως και να στράβωσε λιγάκι γιατί το εξέλαβε ως φάρσα. Συνέχισε την καθημερινή του ρουτίνα, αλλά στο πίσω μέρος του μυαλού του είχε το γράμμα. Τι θεωρήματα ήταν αυτά; Απίστευτα πράγματα! Κάποια δεν μπορούσε καν να τα φανταστεί. Μήπως, τελικά, δεν ήταν φάρσα;

Όταν γύρισε στο δωμάτιό του στο Trinity, ξανάπιασε το γράμμα και αυτή τη φορά το διάβασε προσεκτικά. Ναι, δεν ήταν φάρσα! Ποιος ήταν αυτός ο τύπος; Ειδοποίησε τον J.E. Littlewood (1885-1977), επίσης διαπρεπή μαθηματικό, φίλο και στενό του συνεργάτη (δημοσίευσαν από κοινού πάνω από εκατό σημαντικά άρθρα από το 1911 μέχρι το 1946 – μία από τις αποδοτικότερες συνεργασίες στην ιστορία των μαθηματικών) πως ήθελε να τον δει μετά το δείπνο. Όταν ήρθε ο Littlewood, κάθισαν μαζί και ξαναδιάβασαν τα θεωρήματα του άγνωστου Ινδού. Δεν άργησαν να συνειδητοποιήσουν ότι είχαν μπροστά τους καρπούς της σκέψης μιας ακατέργαστης ιδιοφυΐας. Ακόμα και όταν παρουσίαζε ως δικά του γνωστά θεωρήματα (από άγνοια, όχι από δόλο), το έκανε με τρόπο που έδειχνε ότι ξανα-ανακάλυπτε τα μαθηματικά μόνος του, έφτιαχνε τα εργαλεία από την αρχή. Έπειτα, υπήρχαν και τα πρωτότυπα που ήταν πέρα από κάθε φαντασία. Εντυπωσιασμένος ο Hardy, έβαλε άμεσα μπρος τις διαδικασίες να φέρει τον Ramanujan στο Cambridge με υποτροφία.

Ο Srinivasa Ramanujan (1887-1920) ήταν αυτοδίδακτος στα μαθηματικά και δεν είχε καταφέρει να σπουδάσει σε πανεπιστήμιο της πατρίδας του γιατί κοβόταν στις εξετάσεις των αγγλικών. Όταν έστειλε το γράμμα στον Hardy δούλευε ως λογιστής στο Madras. Μετά από πολλές περιπέτειες, δέχτηκε την υποτροφία που του πρόσφερε το Trinity και το 1914 έφτασε στην Αγγλία. Στα σχεδόν πέντε χρόνια που έμεινε στο Cambridge δούλεψε κυρίως με τον Hardy (ο οποίος τον είχε, τρόπον τινά, υπό την προστασία του), αλλά και τον Littlewood, με εντυπωσιακά αποτελέσματα σε διάφορους τομείς των καθαρών μαθηματικών: μαθηματική ανάλυση, θεωρία αριθμών, απειροστικές σειρές, συνεχή κλάσματα. Ο συνδυασμός της μαθηματικής αυστηρότητας του Hardy και της υπερφυσικής διαίσθησης του Ramanujan αποδείχτηκε ιδανικός. Πέντε εργασίες τους έχουν περάσει στην ιστορία των μαθηματικών και μνημονεύονται σήμερα περισσότερο ακόμα και από τις εργασίες των Hardy και Littlewood.

Ο Ramanujan δεν πέρασε καλά στην Αγγλία, αν εξαιρέσουμε τη μαθηματική έρευνα (γιατί, από αυτή την άποψη, πέρασε πολύ καλά). Το κλίμα της Αγγλίας τον τσάκισε. Νοσταλγούσε τη γυναίκα του και τους γονείς του. Έτρωγε ελάχιστα (ήταν χορτοφάγος λόγω θρησκείας και, εξαιτίας του πολέμου, τα λαχανικά ήταν δυσεύρετα). Είχε και βεβαρυμμένη υγεία ήδη από τα νιάτα του. Να γυρίσει στην Ινδία δεν γινόταν εν μέσω του πολέμου. Από ακαδημαϊκή άποψη, τα πήγαινε πολύ καλά. Πήρε το πτυχίο του, έκανε σημαντικές δημοσιεύσεις (πάντα μαζί με τον Hardy), εκλέχτηκε Εταίρος της Royal Society και την ίδια χρονιά Εταίρος στο Trinity (ο πρώτος Ινδός στην ιστορία του κολεγίου)· αλλά η υγεία του τον πρόδωσε και δεν άργησε να καταπέσει. Η διάγνωση μιλούσε για φυματίωση και αβιταμίνωση, αλλά η σύγχρονη έρευνα κάνει λόγο για μια δύσκολα διαγνώσιμη (αλλά εύκολα θεραπεύσιμη, άπαξ και διαγνωσθεί) ηπατική ασθένεια, την αμοιβάδωση, κατάλοιπο των δυσεντεριών που τον είχαν ταλαιπωρήσει πριν από χρόνια. Νοσηλεύτηκε σε σανατόριο στο Putney. Όταν οι γιατροί τού επέτρεψαν να ταξιδέψει, γύρισε στην Ινδία, όπου λίγο αργότερα πέθανε.

Πόσο καλός ήταν, τέλος πάντων, αυτός ο Ramanujan; Ο Hardy, που τον ήξερε καλύτερα από οποιονδήποτε άλλον σε ό,τι αφορά τα μαθηματικά, τον θεωρούσε φυσική μαθηματική ιδιοφυΐα του επιπέδου των Gauss και Euler, αν και δεν περίμενε να συμβάλει εξίσου με αυτούς εξαιτίας των κενών στην τυπική του εκπαίδευση και του γεγονότος ότι εμφανίστηκε αργά στην κεντρική σκηνή της έρευνας. Ο δε Littlewood θεωρούσε τον Ινδό ισάξιο τουλάχιστον του Jacobi. Ο Hardy, ένας από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς του 20ου αιώνα, ήταν ιδιαίτερα μετριόφρων, και δεν έχανε ευκαιρία να τονίζει ότι τόσο ο Ramanujan όσο και ο Littlewood ήταν μια κλάση καλύτεροι από τον ίδιο. Γράφει στην Απολογία του: «Τα πραγματικά κρίσιμα σημεία στη σταδιοδρομία μου ήρθαν (…) το 1911, όταν άρχισα τη μακρά συνεργασία μου με τον Littlewood, και το 1913, όταν ανακάλυψα τον Ramanujan. Από τότε η πιο καλή μου δουλειά ήταν συνδεδεμένη με τη δική τους, και είναι φανερό ότι η σύνδεσή μου μαζί τους ήταν το πιο καθοριστικό γεγονός της ζωής μου. Όταν νιώθω κατάθλιψη (…) λέω στον εαυτό μου: “τουλάχιστον μπόρεσα να κάνω κάτι μοναδικό: να συνεργαστώ με τον Littlewood και τον Ramanujan σχεδόν επί ίσοις όροις”». Mεγάλες κουβέντες – που όμως δικαιώνονται εκ των αποτελεσμάτων. Ο Ramanujan ήταν γεννημένος για να κάνει μαθηματικά.

Ο Hardy, ο οποίος ποτέ δεν μιλούσε για τις λεπτομέρειες της συνεργασίας του είτε με τον Littlewood είτε με τον προστατευόμενό του, συχνά έλεγε μια ιστορία για τον Ramanujan, η οποία είναι κατά πάσα πιθανότητα αληθινή όσο κι αν μοιάζει απίστευτη (άλλωστε, ο C.P. Snow, στενός φίλος του Hardy, ισχυρίζεται ότι ο φίλος του δεν έλεγε ποτέ ψέματα). Όταν ο Ramanujan νοσηλευόταν στο Putney, ο Hardy τον επισκεπτόταν συχνά. Έφτανε στο σανατόριο πάντα με ταξί, το μόνο μεταφορικό μέσο που χρησιμοποιούσε. Μια μέρα, μπήκε στο δωμάτιο του Ramanujan και τον βρήκε, ως συνήθως, ξαπλωμένο και αποκαμωμένο. Ο Hardy, από ιδιοσυγκρασία, πάντα δυσκολευόταν να ξεκινήσει μια συζήτηση περί ανέμων και υδάτων. Εκείνη τη μέρα, χωρίς καν να χαιρετήσει τον ασθενή, του είπε για να σπάσει τον πάγο:

«Νομίζω ότι το ταξί που με έφερε είχε πολύ ανιαρό αριθμό: 1729».

Ο Ramanujan ανοιγόκλεισε τα μάτια και του απάντησε:

«Όχι, Hardy, όχι! Είναι πολύ ενδιαφέρων αριθμός. Είναι ο μικρότερος αριθμός που εκφράζεται ως το άθροισμα δύο κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους!»

Και όντως: 1729 = 123 + 13 = 103 +93.

[Από αυτή την ιστορία γεννήθηκαν οι Αριθμοί των Ταξί στη θεωρία αριθμών. Συμβολίζονται Ta(n) ή Taxicab(n), και ορίζονται ως εξής: ο μικρότερος αριθμός ο οποίος μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα δύο θετικών αλγεβρικών κύβων, με n διαφορετικούς τρόπους.

Οι τρεις πρώτοι:

Taxicab(1): 2 = 13 +13

Taxicab(2): 1729 = 123 + 13 = 103 +93

Taxicab(3): 87539319 = 1673 +4363 =2283 + 4233 = 2553 + 4143

Και φυσικά είναι άπειροι.]

Ο Hardy δεν δήλωνε ρητά ότι ο Ramanujan έκανε αυτό τον υπολογισμό σε δευτερόλεπτα (θα μπορούσε ενδεχομένως να ήταν ένας αριθμός τον οποίο ο Ramanujan είχε ήδη εξετάσει), αλλά αυτό ήταν που άφηνε να εννοηθεί. Και ο Ramanujan ήταν αποδεδειγμένα σε θέση να κάνει τέτοια απίστευτα πράγματα με τους αριθμούς.

Δεν ξέρω τι άλλο θα πρόσφερε ο Ramanujan στα μαθηματικά αν ζούσε περισσότερο. Ενδεχομένως όχι πολλά πράγματα: άργησε να ξεκινήσει, δεν είχε λάβει τυπική εκπαίδευση και ήταν 33 χρονών. Όπως γράφει, με εύλογη πίκρα, ο σχεδόν εξηντάρης Hardy: «Ο Galois πέθανε στα 21, οAbel στα 27, ο Ramanujan στα 33, ο Riemann στα 40. (…) Δεν γνωρίζω ούτε ένα περιστατικό μιας σημαντικής μαθηματικής προόδου που να ξεκίνησε από κάποιον άνω των 50». Ξέρω όμως ότι μερικών ανθρώπων το μυαλό είναι για κάποιον λόγο σχεδιασμένο για ένα και μόνο (εξαιρετικό) πράγμα. (Δεν πρόκειται για μεταφυσική: εξηγείται· απλώς δεν ξέρουμε ακόμα πώς.) Σε αυτούς τους ανθρώπους εύχομαι να το βρουν σύντομα – και να του αφοσιωθούν.

[Τα αποσπάσματα και οι πληροφορίες είναι από το: G.H. Hardy, Η Απολογία ενός Μαθηματικού, μετάφραση-σχόλια: Δημήτρης Καραγιαννάκης & Μιχάλης Λάμπρου (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1993). Η ιστορία με το ταξί αναφέρεται στον (εκτεταμένο και γεμάτο πληροφορίες) πρόλογο του C.P. Snow στο ίδιο βιβλίο, το οποίο αξίζει να διαβαστεί, έτσι κι αλλιώς –και όχι απαραίτητα από μαθηματικούς ή επιστήμονες– ως το «έργο ενός παραγωγικού καλλιτέχνη», όπως σημειώνει ο Snow. 

Επίσης, σημειώνω προς ανάγνωση και τη μυθιστορηματική περιγραφή της συνεργασίας Hardy-Ramanujan στο: David Leavitt, Ο Υπάλληλος από την Ινδία, μετάφραση: Ανδρέας Μιχαηλίδης (Πόλις, 2009). Η ιστορία με το ταξί βρίσκεται στις σελίδες 633-634. 

Τέλος, αξίζει μία αναφορά στη ταινία τού 1997 Good Will Hunting (ελλ. τίτλος: Ο Ξεχωριστός Γουίλ Χάντινγκ) του Gus Van Sant με τους Matt Damon, Ben Affleck, Robin Williams, Ben Affleck, Minnie Driver και Stellan Skarsgård. Το σενάριο (βραβευμένο με Όσκαρ για τους Damon & Affleck) είναι σίγουρα εμπνευσμένο από την ιστορία των Hardy & Ramanujan. Ο ρόλος του Skarsgård (Καθηγητής Gerald Lambeau) φέρνει αβίαστα στον νου τον Hardy και ο ρόλος του Damon (Will Hunting) οφείλει πολλά στον Ramanujan. Μάλιστα, στη σκηνή όπου ο Καθηγητής προσπαθεί να πείσει τον ψυχαναλυτή Δρ Sean Maguire (ο Williams στον ρόλο που του χάρισε το Όσκαρ β΄ ρόλου) να αναλάβει τη θεραπεία του προστατευόμενού του, του λέει ότι πρόκειται για μαθηματική ιδιοφυΐα, για έναν σύγχρονο Ramanujan. Q.E.D.]