του Μιχάλη Αριστείδου, American University of Kuwait, Οκτ. 2014
maristidou@auk.edu.kw
Εισαγωγή
Το παιδαγωγικό, μαθηματικό, και φιλοσοφικό στάτους της Ευκλείδειας Γεωμετρίας
έχει αμφισβητηθεί αλλά και υπερασπισθεί αρκετές φορές στην σύγχρονη εποχή. Η πρόκληση
αυτή όμως δεν είναι κάτι το καινούργιο. Όπως αναφέρει ο Πρόκλος, από την αρχαιότητα
ήδη, οι Επικούρειοι εξέφρασαν έναν σκεπτικισμό απέναντι στις αρχές, αποτελέσματα,
και πληρότητα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Κάποιοι ερευνητές εισηγήθηκαν επίσης ότι
οι Επικούρειοι πρότειναν ένα “μαθηματικό ατομισμό”,
τόσο σαν κριτική όσο και ως θεωρία για την γεωμετρία, για να αντιταχθούν την
έννοια της άπειρης διαιρετότητας που είναι θεμελιώδης στην γεωμετρία. Για να διευκολύνουμε την συζήτηση, θέτουμε τα πιο
κάτω ερωτήματα ως βάση:
1. Γιατί
είναι σημαντικά τα Μαθηματικά στη Φιλοσοφία; Τι το ιδιαίτερο με τα
Μαθηματικά;
2.
Ποία ήταν η Επικούρεια κριτική; Πού είχε επικεντρωθεί; Ήταν έγκυρη;
3.
Είχαν οι Επικούρειοι εισηγηθεί κάποιο άλλο «είδος» Μαθηματικών;
4.
Τι γίνεται σήμερα; Είναι σχετική η Ευκλείδεια Γεωμετρία σήμερα;
Γιατί είναι σημαντικά τα
Μαθηματικά στη Φιλοσοφία;
Το αντικείμενο και οι μέθοδοι των Μαθηματικών δεν
εξαρτώνται από την εμπειρία. Είναι ίσως το μόνο παράδειγμα γνώσης που έχουμε
που δεν είναι εμπειρική. Η επιστημολογία είναι ένα κεντρικό θέμα στη
Φιλοσοφία. Η γνώση τους παράγεται μέσω της λογικής (reason) και οι
μέθοδοί τους εξαρτώνται από ορθολογικά/λογικά βήματα και αυστηρότητα. Η φύση
του ορθολογισμού/λογικής είναι ακόμα ένα ενδιαφέρον και αμφιλεγόμενο ζήτημα. Η εφαρμοσιμότητά
τους και η σημασία τους (αναγκαιότητα;) για την επιστήμη (πραγματική ζωή) δεδομένου
ότι το θέμα βασίζεται σε έννοιες όπως το άπειρο, κενό σύνολο, κτλ
(δηλαδή προϊόντα σκέψης), είναι επίσης κάτι που προκαλεί πολλά ερωτήματα. Για παράδειγμα,
όταν αποδεικνύει κανείς ότι ο αριθμός √2 (τετραγωνική ρίζα του 2) είναι άρρητος, δηλαδή
δεν είναι κλάσμα, η γνώση αυτή καθώς και οι μέθοδοι παραγωγής της γνώσης αυτής
οδηγούν σε δυο συμπεράσματα, ένα γενικό
και ένα ειδικό: (1) Τα Μαθηματικά δεν
εξαρτώνται κατά βάση από την εμπειρία. (2) Η ασυμμετρία έδωσε
επιχείρημα στην άπειρη διαιρετότητα των ευθύγραμμων τμημάτων.
Σχετικά με
το (1), ο Alexander λέει ότι: “γνωρίζουμε
ότι ο αριθμός √2 είναι άρρητος, όχι
στη βάση των όποιων μετρήσεων ή παρατηρήσεων αλλά στη βάση της καθαρής λογικής.” (Alexander, σελ.5) Για το (2), όπως λέει ο Πρόκλος
[Vlastos, σελ. 126]: “όταν αποδείξουν ότι υπάρχουν ασύμμετρα μεγέθη και ότι
αυτά δεν είναι μεταξύ τους ανάλογα, τότε θα μπορούσε κανείς να πει ότι έχουν
αποδείξει ότι κάθε μέγεθος είναι διαιρετό και ότι ποτέ δεν θα μπορέσουμε να
φτάσουμε στο αμερές, το οποίο θα ήταν το λιγότερο κοινό μέτρο των μεγεθών».
Η Επικούρεια Θεώρηση
Για τους Επικούρειους, και τα δύο θέματα ήταν αμφισβητήσιμα,
θα επικεντρωθούμε όμως περισσότερο στο 2ο θέμα, ότι δηλαδή “κάθε
μέγεθος είναι διαιρετό και ποτέ δεν θα φτάσουμε στο αμερές...”. Στην «Επιστολή
Προς Ηρόδοτο», ο Επίκουρος δηλώνει: «μερικά σώματα είναι σύνθετα, άλλα
(τα στοιχεία) αυτά που απαρτίζουν τα σύνθετα. Και τα τελευταία πρέπει να είναι
άτμητα (άτομα) και αμετάβλητα, για να μη καταρρεύσουν όλα τα πράγματα στην μη
ύπαρξη...». [Vlastos, σελ.122]. Επίσης λέει: «ως εκ τούτου,
όχι μόνο πρέπει κάποιος να απορρίπτει την επ’ άπειρω διαίρεση στην κατεύθυνση
του όλο και μικρότερου, αφού αλλιώς θα αποδυναμώναμε τα πάντα, και θα
αναγκαζόμασταν να συνθλίψουμε ότι υπάρχει σε μια προσπάθεια να τα εννοήσουμε...».
[Mau,
σελ. 422]. Είναι νομίζω σαφές ότι ο Επίκουρος εννοεί τον πιο πάνω «ατομισμό» για
υλικά αντικείμενα, όχι αφηρημένα αντικείμενα.
Όμως, ορισμένοι υποστηρίζουν
ότι ο Επίκουρος δεν εννοούσε αυτό τον «ατομισμό»
μόνο για τη Φυσική, αλλά και για τα Μαθηματικά. Επιπλέον, υποστηρίζουν ότι
υπήρχαν κάποια «ξεχωριστά» Επικούρεια Μαθηματικά, στα οποία δεν λαμβανόταν
υπόψη η άπειρη διαιρετότητα των ευθύγραμμων τμημάτων. Για παράδειγμα, ο Mau
από το τελευταίο απόσπασμα πιο πάνω συμπεραίνει: «όπως βλέπουμε εδώ, ο
Επίκουρος ρητά απορρίπτει τη γνωστή “εις
άπειρον τομή”. Αυτός φαίνεται να είναι ένας τεχνικός όρος για το μαθηματικό
αξίωμα όπου ένα μέγεθος να μπορεί απείρως να διχοτομείται ξανά και ξανά». [Mau, σελ. 422].
Ο Mau και άλλοι [Sedley, σελ. 23, , σελ. 304-309],
αντλούν τα επιχειρήματα τους από τα πιο κάτω στοιχεία:
(α) Η φράση του Επίκουρου από την “Επιστολή στον Ηρόδοτο” (I,
59), «το εν τη ατόμω ελάχιστον, τα ελάχιστα». Την οποία καταλαβαίνουν ως ένα είδος ακόμα
μικρότερων ατόμων (αμερή, αδιαίρετα) μέσα στο άτομο. Ο Mau υποστηρίζει ότι το κείμενο του Επίκουρου δείχνει ότι το
άτομο, παρά το γεγονός ότι δεν μπορεί μηχανικά να διαιρεθεί σε μέρη, πρέπει με
μια αφηρημένη έννοια να έχει μέρη, και το ερώτημα είναι εαν αυτή η αφηρημένη
έννοια υποδεικνύει δύο διαφορετικά ελάχιστα, πχ. το φυσικό και το μαθηματικό
(Σημ. Ο Αριστοτέλης το εισηγήθηκε πιο πριν στο “On Generation and Corruption” και
“On Indivisible Lines”).
Στη συνέχεια, επικαλείται τις πηγές από τους Cicero
και Lucretius και καταλήγει οτι “καθίσταται πιο πιθανό ότι στην
Επιστολή προς τον Ηρόδοτο (59,2) η λέξη ’ελάχιστον’ σημαίνει επίσης μια
ορισμένη σταθερά που είναι μέρος της Επικούρειας Φυσικής και των Μαθηματικών». (Mau, p.425-427)
(β) Το τμήμα του Σιμπλίκιου στα “Φυσικά
του Αριστοτέλη (VI)” μας πληροφορεί ότι ο Επίκουρος αναγκάστηκε να
εγκαταλείψει τον όρο «αμερή» για τα άτομα, μετά την κριτική του Αριστοτέλη προς
τον Δημόκριτο και τον Λεύκιππο οι οποίοι θεωρούσαν ότι τα άτομα είναι
αμετάβλητα επειδή είναι αμερή.
(γ) Τα αδιαίρετα μαθηματικά μεγέθη ήταν γνωστά όταν ο Επίκουρος έγραψε την
επιστολή (Σημ.: Ο Ξενοκράτης εισήγαγε μια παρόμοια έννοια, σύμφωνα με τον Πρόκλο
[Vlastos, σελ. 125].
Ο Mau πιστεύει ότι ο Επίκουρος στην Επιστολή του πήρε θέση για
την αξιωματική μέθοδο καθεαυτή, και όχι μόνο για τη λογική πληρότητά της (Mau, p.425).
(δ) Γνωστοί Επικούρειοι, γνώστες μαθηματικών, επέκριναν την Ευκλείδεια
Γεωμετρία, η οποία είναι βασισμένη στο αξίωμα της άπειρης διαιρετότητας.
Επικούρεια κριτική της Γεωμετρίας
Σύμφωνα με τον Πρόκλο: «Ορισμένοι από τους κριτικούς, εκ των οποίων τα
επιχειρήματα έχουν γίνει γνωστά , όπως οι σκεπτικιστές, απορρίπτουν ολη την
γεωμετρική γνώση […] ενώ άλλοι, όπως οι Επικούρειοι, αμφισβητούν μόνο τις αρχές
της γεωμετρίας. Ωστόσο μια άλλη ομάδα κριτικών δέχεται τις αρχές αλλά
απορρίπτει ότι οι προτάσεις που έπονται από τις αρχές μπορούν να αποδειχθούν,
εκτός και αν δεχτούμε έννοιες που δεν περιέχονται στις αρχές. Αυτή η στάση είχε
υιοθετηθεί από τον Ζήνων τον Σιδώνιο, ο οποίος άνηκε στην Επικούρειο σχολή κατά του οποίου ο
Ποσειδώνιος είχε γράψει ένα ολόκληρο βιβλίο». [Morrow, σελ. 156].
Ο Ζήνων μεταξύ άλλων επέκρινε την Πρόταση 1 (Β.1) του Ευκλείδη: «Με πλευρά δεδομένο
ευθύγραμμο τμήμα, να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο». Ο Ζήνων ισχυρίστηκε
ότι αυτή η κατασκευή δεν απορρέει από τα αιτήματα, εκτός και αν δεχτούμε
μια επιπλέον υπόθεση, δηλαδή ότι δύο τεμνόμενες γραμμές δεν μπορούν να έχουν
ένα κοινό τμήμα («μαθηματικός ατομισμός»;). Επειδή εάν περιείχαν ένα κοινό
τμήμα τότε ειναι πιθανό τα τμήματα AC και BC να
συναντιούνται πριν στο σημείο E, και έτσι δεν έχουμε ισόπλευρο τρίγωνο (βλ. Σχήμα
1).
Ο Πρόκλος απαντά λέγοντας ότι:
“…Υπό μία έννοια προϋποθέτουμε στις
πρώτες αρχές ότι δύο ευθείες γραμμές δεν μπορούν να έχουν ένα κοινό τμήμα.
Διότι ο ορισμός της ευθείας γραμμής καθορίζει ότι η ευθεία γραμμή είναι μια
γραμμή που κείται εξ’ ίσου προς τα σημεία της. Το γεγονός ότι το διάστημα
μεταξύ δύο σημείων είναι ίσο με την ευθεία γραμμή ανάμεσά τους, κάνει τη γραμμή
που τα ενώνει μία και την μικρότερη. Έτσι εάν μια γραμμή συμπίπτει με αυτό εν
μέρει, τότε συμπίπτει και με το υπόλοιπο”. Και, “…επιπρόσθετα, αυτή η αρχή προϋποτίθεται επίσης στα αιτήματα. Το αίτημα
ότι μια πεπερασμένη ευθεία γραμμή μπορεί να επεκταθεί σε μια ευθεία γραμμή
δείχνει καθαρά ότι η επεκταμένη γραμμή είναι μία και η επέκταση προκύπτει από
μια ενιαία κίνηση”. (Morrow, σελ.169). Το τελευταίο
είναι στην πραγματικότητα το Αίτημα 2, στα Στοιχεία. Με άλλα λόγια, υπάρχει ένα
αξίωμα που εγγυάται, όπως κάποιοι πιστεύουν, ότι η διασταύρωση δύο γραμμών
έιναι ένα σημείο (και όχι ένα ευθύγραμμο τμήμα). Σημειώνουμε επίσης πως ο Ζήνων
άσκησε κριτική επίσης και σε ένα άλλο επιχείρημα, της κατασκευής μιας γραμμής
κάθετη σε μια άλλη γραμμή από ένα δοσμένο σημείο.
Είναι
προβληματική η Ευκλείδεια Γεωμετρία;
Για αρκετούς αιώνες τώρα η Ευκλείδεια Γεωμετρία αποτελεί ένα σημαντικό
παιδαγωγικό εργαλείο. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία
επίσης είχε σημαντική επιρροή στα ίδια τα Μαθηματικά (Προ-Ευκλείδειες Αξιωματικοποιήσεις)
αλλά και στην Φιλοσοφία (Πλάτωνα, Kant). Έχει όμως και τα
προβλήματα της. Έχει προβλήματα με τους Ορισμούς, με τα Αιτήματα, αλλά και τα
Θεωρήματα. Π.χ. Ο Ορισμός 4 (B.1):
Ευθεία γραμμή είναι η γραμμή που κείται εξ ίσου προς τα σημεία της, δεν εξηγεί τι εννοεί με το «κείται εξ
ίσου προς τα σημεία της». Υποτίθεται πως αυτό είναι προφανές και κατανοητό από
την εμπειρία και την κοινή λογική. Το Αίτημα 2 (B.1):
Η επέκταση μιας πεπερασμένης ευθείας γραμμής σε συνεχή ευθεία γραμμή. Δεν
είναι σαφές ότι πρέπει να διατηρήσουμε την ίδια κατεύθυνση. Η Πρόταση 1 (B.1):
Με πλευρά δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο. Η
ύπαρξη του σημείου C, στο οποίο διασταυρώνονται οι κύκλοι, μπορεί να είναι
προφανές αλλά δεν καλύπτεται από οποιοδήποτε από τα αιτήματα. Το αίτημα 5
καλύπτει την ύπαρξη ενός σημείου τομής δύο ευθειών γραμμών με δεδομένες
συνθήκες, αλλά δεν έχουμε κάτι ανάλογο για τομή κύκλων. [Για περισσότερα, βλ. “Ευκλείδη
Στοιχεία”, ΚΕΠΕΚ, 2001].
Είναι σχετική η Ευκλείδεια Γεωμετρία σήμερα;
Είναι σχετική σε πολλούς τομείς, ειδικότερα όμως εξετάσαμε σε προηγούμενο
άρθρο [Aristidou, 2013)
ένα αλγόριθμο βασισμένο στα quaternions (υπερμιγαδικοί αριθμοί), που
ονομάζεται Circular Arc Blending Algorithm (εν συντομία CiBlend). Αυτή η ωραία
τεχνική, που χρησιμοποιείται στα computer graphics, προσομοιώσεις,
κλπ, στηρίζεται σε ένα γνωστό θεώρημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που ονομάζεται Θεώρημα
των Μεσοκαθέτων. (βλ. Σχημα 2). Το εν λόγω θεώρημα είναι η Πρόταση 5 (Β. IV)
στα Στοιχεία: «Περί δοθέν τρίγωνο να περιγραφεί κύκλος» (Heath, σελ. 88).
Επομένως, παρ’ όλες τις
προκλήσεις που αντιμετωπίζει η Ευκλείδεια γεωμετρία σε θεωρητικό επίπεδο,
φαίνεται, ότι είναι χρήσιμη και σχετική σήμερα, σε αυτόν τον κόσμο, σε
πρακτικά θέματα που επηρεάζουν την καθημερινή ζωή. Ως εκ τούτου, μπορεί κανείς
να προτάξει ένα πραγματιστικό επιχείρημα
για τη σχετικότητα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, πέρα από τα συνήθη
επιστημολογικά και παιδαγωγικά επιχειρήματα, που ενισχύει την άποψη ότι μάλλον
θα ήταν ωφέλιμη παρά ζημιογόνα η διδασκαλία και μάθηση της Ευκλείδειας
Γεωμετρίας. H Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι επίσης ένα εξαιρετικό πεδίο στο οποίο
κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει διαισθητικές έννοιες και να οξύνει
συλλογιστικές δεξιότητές, και να εξοικειώσει τον εαυτό του με την πιο σημαντική
έννοια στα μαθηματικά, δηλαδή την έννοια της απόδειξης.
Εν Κατακλείδι
Σχετικά με την Επικούρεια θεώρηση/κριτική, καταλήγουμε στα πάρακατω
συμπεράσματα:
(1) Από μαθηματικής άποψης ήταν αρκετά εύστοχη και έγκυρη ιδιαίτερα όσον
αφορά τα θεμέλια και την λογική δομή της γεωμετρίας [πρόδρομοι μετέπειτα
κριτικών (Schopenhauer),
και πρόδρομοι της «πιθανότητας» ανάπτυξης Μη-Ευκλείδειων Γεωμετριών (E.M. Bruins)].
Ήταν άστοχη όσον αφορά τον «μαθηματικό ατομισμό» που όμως, για να είμαστε και
δίκαιοι, και βάσει των πηγών, δεν φαίνεται να είχαν προτείνει. Η «μη-ατομιστική
γεωμετρία», είναι αυτή που αναπτύχθηκε και βρήκε χρήσιμες εφαρμογές.
(2) Από φιλοσοφικής άποψης, εάν η άποψη (όπως του Mau,
κλπ) επικρατήσει, ότι δηλαδή τα μαθηματικά πρέπει να απορριφθούν, τότε μάλλον η
θέση αυτή ήταν άστοχη. Τα μαθηματικά, ακόμα και ξεκομμένα από την εμπειρία
είναι απαραίτητα στη επιστήμη, αλλά και συνεισφέρουν στο ευ ζην (βιντεοπαιχνίδια,
προσομοιώσεις πτήσεων αεροπλάνων, μαγνητικούς τομογράφους, κλπ.)
Oι Επικούρειοι,
γενικά, δεν είχαν τα Μαθηματικά στα κεντρικά φιλοσοφικά ενδιαφέροντα. Δεν ισχύει
φυσικά αυτό για εξειδικευμένους Επικούρειους όπως ο Ζήνων. H
αντίληψη όμως ότι όλη η γνώση είναι εμπειρική, καθώς και η επαγωγική λογική
(πρόδρομος της επαγωγής του J.S. Mill)
που διείπε την φιλοσοφία τους, δεν φαίνεται να συνάδουν με την ουσία των Μαθηματικών
(απόδειξη, αφαίρεση, κλπ). Ίσως δικαιολογούνται όμως κάπως οι Επικούρειοι τότε,
διότι τότε δεν ήταν τόσο ανεπτυγμένη η Επιστήμη αλλά ούτε και τα Μαθηματικά.
Ίσως σήμερα να έβλεπαν αλλιώς τα Μαθηματικά και να αναγνώριζαν κάποιες από τις
ιδιαίτερες πτυχές τους.
Βιβλιογραφία
G. Alexander and D. Velleman, Philosophies of Mathematics, 2002.
G. Vlastos, “Minimal Parts in Epicurean Atomism”, 1965.
J. Mau, “Was there a Special Epicurean Mathematics?”, (Vlastos
ed.), 1973.
Sedley, “Epicurus and the Mathematicians of Cyzicus”, 1976.
Proclus, Commentary on
the First Book of Euclid’s Elements, (trsl. G.Morrow), 1970.
Ευκλείδη Στοιχεία, (ΚΕΠΕΚ), 2001.
M. Aristidou, “Is Euclidean Geometry still Relevant?”, Issues on Education and Research,
2013.
Epicurus, “Letter to Herodotus”, (trsl. C. Bailey), 1926.
S. Cuomo, Ancient Mathematics, 2001.
Τ. Heath, The Thirteen Books of the
Elements, 1956.
